Matador de toros nacido en Madrid el 29 de diciembre de 1974, pero que tiene su residencia en la localidad de Moraleja de En medio, cercana a la capital. Es hermano del matador de toros Miguel Rodríguez, de quien hereda la afición, ya que no existen otros antecedentes familiares que se relacionen con el mundo de los toros. Desde los doce años hasta los dieciocho años perteneció a la Escuela de Tauromaquia de Madrid. Vestido de corto en una becerrada, el 3 de septiembre de 1989, mató en la localidad donde reside su primer becerro, y el 3 del mismo mes, pero un año después, también allí, vistió por vez primera de luces, un terno nazareno y oro, compartiendo cartel con su hermano y Juan Carlos Saavedra en una novillada picada en la que el mató dos erales de los señores Saavedra. Actuó como Gregorio Rodríguez, sin utilizar todavía su nombre artístico. Después de torear varios años novilladas de promoción, anunciado como Gregorio Alcañiz, se presentó con los del castoreño en una corrida mixta, vestido de grosella y oro, el 5 de septiembre de 1995y, siguiendo la tradición, en su localidad de residencia. Actuaron en corrida mixta los matadores Víctor Mendes y Miguel Rodríguez, y Gregorio Mató dos astados con la divisa portuguesa de don Ernesto Louro Fernández de Castro, que se arrastraron sin las orejas y el segundo de su lote sin el rabo. Únicamente participó en este festejo picado vestido de luces en esa temporada. El 24 de septiembre de 2000 debuta en Las Ventas, con el novillo Gracioso, de la ganadería de Félix Hernández Barrera, negro bragado de capa, marcado con el número 57, de 526 kilos de peso. Sus compañeros de terna fueron Martín Antequera y José Luis Osuna. La tarde fue fructífera para Gregorio Alcañiz, que dio la vuelta al  ruedo en el novillo del debut y cortó una oreja al segundo de su lote. El 18 de agosto de 2001 toma la alternativa en Leganés, con su hermano, Miguel Rodríguez, como padrino, y Óscar Higares como testigo. El toro de la ceremonia se llamó Tomatero, era de la ganadería de Gavira, estaba marcado con el número 73, era negro de capa y pesó 531 kilos. El toricantano escuchó una ovación tras despachar a este su primer toro como matador de alternativa, y cortó una oreja del segundo de su lote.

En 2002 solo torea una tarde, la del 3 de septiembre, en Moraleja de En medio (Madrid), donde corta dos orejas y rabo a un toro de El Ventorrillo. En la misma localidad torea el único festejo de su temporada 2003, el 9 de septiembre: esta vez corta dos orejas a un toro de José Miguel Arroyo Delgado. En 2004 no se viste de luces y en 2005 corta tres orejas a toros de Jiménez Pasquau en Moraleja de En medio (Madrid), el 6 de septiembre. En esta misma localidad torea su único festejo de la temporada 2006, el 5 de septiembre, cuando corta una oreja a un toro de Castillón.