Matador de toros nacido en la capital mexicana el 17 de diciembre de 1951, hijo de Fermín y sobrino del famoso estoqueador bilbaíno Martín Agüero. Desea emprender la profesión familiar y se entrena en la ganadería paterna incluso con reses de cierto respeto. En sus primeras salidas a los ruedos alternó con su progenitor en más de un festival. Como profesional actúa  desde el 6 de agosto de 1967, al hacer el paseíllo entre Mario Sevilla y Andrés Blando en el coso de San Luis Potosí (México) para despachar un encierro de la vacada de Valparaíso. En la capitalina plaza México se presenta el 14 de julio de 1968, donde alterna con el citado Mario Sevilla y Arturo Ruiz Loredo en la lidia de ganado de Javier Garfias, con el rotundo éxito que supone cortar las dos orejas de cada uno de los novillos de su lote, por lo que repite el siguiente domingo. No tarda en tomar la alternativa lo que lleva a efecto el 14 de septiembre en el coso de Torreón al cederle Joselito Huerta, en presencia de Jaime Rangel, la muerte del toro Presidente, del hierro de Tequisquiapan. La confirmación en la Monumental mexicana tiene fecha del 16 de febrero de 1969, en que se corrieron astados de la mencionada divisa de Javier Garfias, uno de los cuales se llamó Romancero, en competencia con Juan José, del que recibió la alternativa, y Manuel Espinosa, Armillita.

El inmediato 20 de abril, igualmente en la capital, gana el trofeo Estoque de Oro el la corrida a beneficio de las Agrupaciones Sindicales Taurinas Mexicanas. Ya está situado en un puesto privilegiado dentro del toreo azteca. El 21 de junio de 1970, igualmente en la plaza México, actúa mano a mano a con otra de las grandes figuras de aquel país, Manolo Martínez, y es herido de gravedad en la rodilla derecha por su segundo enemigo, del repetido hierro de Javier Garfias. Durante la temporada española de 1971 torea en nuestros cosos cincuenta y ocho funciones, y causa muy buena impresión al confirmar su alternativa el 18 de mayo en el ruedo madrileño de Las Ventas, en pleno serial isidril. Fue apadrinado por Antonio Mejías, Bienvenida, quien, ante el testigo Andrés Vázquez, le cedió la muerte del toro Beluco, negro zaino, número 72, con 528 kilos de peso en vivo, de la ganadería de Samuel Hermanos. Repite el posterior día 25 y corta una oreja de un cornúpeta del duque de Pino hermoso en presencia del mencionado Antonio Bienvenida y de Paco Camino. El interés que había despertado su nombre queda demostrado al ser incluido en el cartel de la postinera corrida de Beneficencia, celebrada el 3 de julio, en la que mano a mano con Antonio Bienvenida se las entendió con reses de Felipe Bartolomé, con el brillante resultado de cortar una oreja de su primer y tercer oponentes. De nuevo en su patria, vuelve a conquistar el Estoque de Oro el 2 de marzo de 1972, tras cortar una oreja a un burel de Mariano Rodríguez, en competencia con Alfredo Leal, Joselito Huerta, Jaime Rangel, Manolo Martínez y José Luis Galloso. Por segunda vez interviene en la isidrada madrileña. Lo hizo el 17 de mayo de 1972, junto a Paco Camino y José Luis Galloso y con ganado de José Luis Osborne y de Osborne Domecq, con corte de una oreja de su primer oponente. De rotundo puede considerarse el triunfo del inmediato día 22 con cornúpetas de Atanasio Fernández, ya que ante Andrés Vázquez y Sebastián Palomo, Linares, le sin concedidas las dos orejas de cada uno de los toros de su lote. En 1973 tan solo torea entre nosotros cuatro corridas, lo había hecho en cuarenta y una ocasiones en el año anterior, por propia decisión, que no por falta de contratos, y ya no nos vuelve a visitar hasta la temporada de 1977, en la que intervino en nueve festejos. En el celebrado el 12 de agosto en Gijón resultó herido de cierta importancia en el muslo derecho por una res de la vacada de Cortijoliva ante sus compañeros de terna Palomo Linares y Christian Montcouquiol, Nimeño II. No ha vuelto a torear en nuestros coliseos pero sí lo hace en innumerables ocasiones en los mexicanos y sudamericanos, en los que continúa ocupando un puesto de primerísima línea, ganado en muy buena lid. Continúa siendo un firme pilar del toreo azteca de la actualidad. Su interminable relación de triunfos, con algún fugaz grano de mostaza del fracaso, es realmente impresionante.

Así, el del 8 de noviembre de 1981 en Cancún, donde corta las dos orejas y el rabo de un astado del hierro de Peñuelas y de otro de Manuel Labastida, o el 29 del mismo mes en Monterrey, al estoquear su toro número dos mil en presencia de Jorge Gutiérrez y el rejoneador Joao Moura, o el del siguiente 13 de diciembre en Chetumalcón, de donde se llevó tres orejas de reses de la divisa de Buenavista, o también el del inmediato día 20 en Orizaba, donde al romperse en el ruedo una para su primer oponente, y no contar con sobrero alguno. Y tras obtener las dos orejas de su segundo, de la vacada de Jesús Cabrera, hubo de lidiar por petición pública al toro que cerró plaza, que debía corresponder a su compañero de cartel Manuel Espinosa, Armillita, y tras dar cuente de la res se llevaría otro trofeo auditivo. Entreverada con estas brillantes actuaciones ha de ser reseñada la mala tarde del 20 de noviembre de ese mismo año, en la que escuchó los tres avisos presidenciales en un ejemplar de la ganadería de Javier Garfias, en la plaza de Pachuca. Después de ganar tres orejas y un rabo de reses de la divisa de Peñuelas, el 31 de enero de 1982 en Villa Hidalgo, llega la fecha histórica del 24 de abril en la feria de San Marcos de Aguascalientes, donde, para conmemorar su corrida número mil, torea un total de catorce toros, en dos sesiones de a siete: a las cinco de la tarde de su propia ganadería y a las nueve de la noche de distintos hierros, y logra el magnífico balance de que le concedieran seis orejas de sus propios astados y las dos y el rabo de los que lucieron la divisa de San Martín y de José Julián Llaguno. Estas mil corridas estaban distribuidas en la siguiente forma: 860 toreadas en México, 102 en España, 12 en Colombia, 10 en Francia, 7 tanto en Venezuela como en Ecuador y dos en Portugal. De nuevo en Aguascalientes, el 19 de noviembre de 1982, alterna con Fermín Espinosa, Armillita, y Miguel Espinosa, Armillita Chico, en la lidia de un encierro de su propiedad y se lleva las dos orejas y el rabo de la res que abrió plaza. Al día siguiente resulta lesionado en San Luis Potosí y ello le impediría llegar a participar en las cien corridas previstas para tal año, pero, aun así, pudo cumplimentar ochenta y seis funciones, con lo que las anuales estadísticas situarían su nombre a la cabeza de su escalafón.

Continúa una racha triunfal en 1983. El 16 de enero en Moroleón se lleva tres orejas y un rabo de cornúpetas de la vacada de Campo Alegre. El 12 de febrero en Río Grande las cuatro orejas y los dos rabos de ganado de Jesús Cabrero, el 22 de mayo en la Salamanca mexicana un total de cuatro orejas y un rabo de bureles de los hermanos Dóddoli, el 23 de julio en Monterrey dos orejas y un rabo cuando alternaba con Jesús Solórzano y Roberto Martín en la lidia de un astado del hierro de San Antonio Triana y otro del de Carrasco, el 13 de agosto en Huamantla al serle entregada una oreja de uno de los toros de su lote, de la ganadería de La Providencia y las dos del segundo, que correspondió al veterano Fernando de los Reyes, El Gallado, al que este se negó a estoquear. Con motivo de la celebración del decimoquinto aniversario de su alternativa, se celebró en Torreón –ciudad donde la recibiera—una corrida en su homenaje, en la que también participaron, el 17 de septiembre, Mariano Ramos y Ricardo Sánchez, de la que no se va de vació al cortar un trofeo de uno de sus enemigos, de la vacada de San Antonio Triana. Otra vez obtendría tres orejas y un rabo, ahora de ejemplares de la divisa de El Junco, el 6 de noviembre en Ciudad Hidalgo. Al término de la temporada de 1985 vuelve a aparecer su nombre en cabeza de las estadísticas, con cincuenta y cinco festejos en su haber, incluido el del 24 de febrero en Masacran, donde ganó tres orejas de bureles del hierro de Santa Rosa de Lima. En León de los Aldamas, el 26 de enero de 1986, obtuvo las dos orejas y el rabo de un producto de la vacada de Felipe Torres, ante sus compañeros de cartel Armillita Chico y Jorge Gutiérrez. Para confirmar su evidente categoría es suficiente reseñar que durante la temporada de 1986 tomó parte en sesenta u ocho corridas, y quedó clasificado en segundo lugar en el escalafón correspondiente. En 199º regresa a la México, coso en el que no toreaba desde 1985. Es el 18 de noviembre, con Mariano Ramos y Enrique Garza, para dar cuenta de un lote de la divisa de San Martín, y corta una oreja al primero de ellos. Salió Curro a reencontrarse con su público y toreó en este toro con gran temple en una faena de las denominadas de menos a más, que culminó con una gran estocada. Repitió el 9 de diciembre, con Jorge Gutiérrez y el español Fernando Lozano, que confirmaba su doctorado, y da cuenta esta vez de un lote del hierro potosino de don Javier Garfias y corta otra oreja en la sexta corrida de la temporada formal. Estuvo mal con el primero y el segundo de los suyos. Tras una actuación en la plaza de Encarnación de Díaz, y otra en Querétaro, el 25 de ese mes, pone punto final al año, que no a la temporada mexicana. La alusión a la trayectoria pueblerina obedece, como es fácil suponer, no a su toreo en sí, sino a la sucesión de localidades en las que ha toreado la mayor parte del año, que exceptuando en Texcoco, Aguascalientes, Monterrey, San Luis Potosí, Zacatecas, Querétaro, Guadalajara han sido en plazas de escasa relevancia taurina. Aun así, sumó cuarenta y cuatro corridas de toros. Un mes más tarde de su última actuación en el coso de la calle de Insurgentes vuelve a él, el 6 de enero, acartelado con Mariano Ramos y Guillermo Capetillo y da cuenta de un lote de su propio hierro. Continúa sumando un buen número de festejos cada uno de los años siguientes, y ratifica su categoría de figura del toreo. Prueba de ello es que encabeza el escalafón de su nación en los años 1987 y 1988, este último año compartiéndolo con Miguel Espinosa, Armillita Chico, y Mariano Ramos, que figuran por delante al cortar más orejas que él.

Disminuyen algo los contratos en 1989, año en que alcanza la cifra de cuarenta y ocho actuaciones, sin que su nombre figure en ningún cartel de los celebrados en la capital mexicana. Comienza la campaña en Tlaltenango, el 5 de enero, y finaliza en León, el 12 de diciembre. Entre ambos paseíllos cabe destacar su participación en la feria de Aguascalientes, en la que hace tres paseíllos, y en la de San Luis Potosí, con cuatro y salida en hombros, el 20 de agosto, tras desorejar al quinto de la tarde, del hierro de Tequisquiapán, en cartel que compartió con Manolo Martínez y Mariano Ramos. En cosos menos importantes, como Tecalitlán, donde cortó cuatro apéndices; Tampico, Texcoco, Uruapan, Juriquilla, Durango, donde obtuvo un rabo; Chihuahua, San Juan del Río, Ciudad Delicias, Teziutlán, Santa María del Mar, donde también corta un rabo, como en Zacatecas, coso en el que consigue el tercero; Morelia, Tlaxcala, y León, donde obtiene triunfos

Eloy Cavazos y Miguel Armillita, con toros de don Fernando de la Mora, en festejo en el que también participó el rejoneador Ramón Serrano, con un toro llamado Presidente de la divisa de San Martín. El 24 del mismo mes, con Mariano Ramos y David Silveti de compañeros y toros de El Junco, y la última, vencido ya el año, el 3 de noviembre, con Pedro Gutiérrez, Niño de la Capea, y Jorge Gutiérrez, para matar dos toros de don Teófilo Gómez y uno más de regalo, este con el hierro de Torrecilla. En ninguna de las cuatro actuaciones ha tocado pelo, pero la tarde del 24 de febrero realizó dos buenas faenas y en la de noviembre nada se pudo achacar al diestro con un lote imposible, incluido el que regala para agradar. El resto de la campaña de 1991 ha sido similar a la del año anterior, aunque disminuye el número de contratos y también el de trofeos. En 1992 comienza su año taurino el 5 de enero, en la México, coso al que volverá el 19 de julio y el 15 de noviembre, tarde esta última en la que, alternando con el español Ortega Cano y Miguel Armillita, obtendrá un resonante triunfo con toros de don Julio Delgado, al cortar una oreja del primero y las dos del segundo. Era su última corrida en la plaza en la que tantos triunfos obtuvo << Feliz despedida de Curro Rivera de la Plaza México –dice la revista Toros, Sol y Fiesta-, logrando la comunicación con la afición capitalina desde su primer toro, cuando dominó al bicho logrando dos series por el lado derecho y toda clase de adornos para cortar el primer apéndice. En su segundo se lució con el capote>>. Había hecho por última vez el paseíllo, de verde esperanza y oro, en la Plaza México. Luego quedaría el adiós definitivo a la profesión en San Luis Potosí, el 20 del mismo mes, con David Silveti y Víctor Santos, al que daría la alternativa, con toros de su ganadería. Nuevo y último éxito vestido de luces.

Dos orejas en su primero y las dos y el rabo del último toro de su carrera ponen fin a una trayectoria ejemplar del hijo de una de las figuras más importantes del toreo, que supo estar a la altura de su progenitor. Este sobrino de Martín Agüero quiso y fue también figura y mantuvo con Manolo Martínez, Eloy Cavazos y Mariano Ramos una época dorada del toreo Mexicano, lo que es lo mismo que decir de la tauromaquia universal. Siempre soñó con ser torero, lo consiguió todo en su más de mil seiscientas corridas y se aleja de los ruedos para dedicarse a su ganadería. Pero este adiós, como tantos otros, no es definitivo, y el 1 de enero de 1995, en San Luis Potosí, se enfunda de nuevo el terno bordado en oro para alternar con Jorge Gutiérrez y dar la alternativa a Manuel Lahoz, y corta una oreja al primero de su lote y las dos al segundo, ambos con el hierro de Xajay. Tarde en este coso, el 1 de noviembre, y otra tarde, en Saltillo y Querétaro, torea antes de que finalice el año 1995. Sin embargo, la reaparición oficial hay que fijarla el 27 de agosto de 2000 en San Luis Potosí (México), con el toro Maestro, de la ganadería de Claudio Huerta, en un festejo en el que apadrinó las alternativas de Fermín Spínola y Óscar López Rivera. El padrino cortó una oreja aquella tarde. Esa temporada torea seis festejos más, entre los que destacan los de San Miguel de Allende (cortó dos orejas a un toro de Cerro Viejo) y Uriangato, donde desorejó a sus dos  oponentes, del hierro de Joselito Huerta. Su reaparición, con todo, fue fugaz: Curro Rivera murió el 23 de enero de 2001 a consecuencia de un infarto de Miocardio, mientras tentaba en la ganadería de sus padres, La alianza.